На главную страницу
![На главную страницу](css/images/home.png)
Войти при помощи
![Войти на сайт через ВКонтакте](images/authorization/vk_text.png)
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
![На главную страницу](css/images/home.png)
![На главную страницу](css/images/home_light.gif)
Формулы сокращённого умножения
Поддержать сайт![спасибо](images/donut/handshake.png)
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
![!](css/images/for_special_left.png)
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a2 − b2 = (a − b)(a + b)Примеры:
- 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
![!](css/images/for_special_left.png)
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 12 - Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2 - Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!
(a + b)2 не равно (a2 + b2)Квадрат разности
![!](css/images/for_special_left.png)
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a − b)2 = (b − a)2Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b)2 = a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2Куб суммы
![!](css/images/for_special_left.png)
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт «a3».
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
- Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
(a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле
идёт понижение
степени «a» и увеличение степени
«b». В этом можно убедиться:
(a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!
(a + b)3 не равно a3 + b3Куб разности
![!](css/images/for_special_left.png)
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом «a3 » стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.
(a − b)3 = + a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
![!](css/images/for_special_left.png)
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a2− ab + b2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
![!](css/images/for_special_left.png)
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Примеры:
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».
Ваши комментарии
Оставить комментарий:
112 = 100 + 1
вместо единицы не должно быть число 12?
![thanks](images/forum/thanks.png)
Ответ для Pavel Asafov
Благодарим за указанную ошибку. Опечатка будет исправлена.
![thanks](images/forum/thanks.png)
Ответ для Артур Хорішко
(3 · x ?4)2=0,25
Применим формулу «разность квадратов» и решим квадратное уравнение, найдя корни.
9 · x2 ? 2 · 3 · 4 · x + 16 = 0,25
9x2-24x+15,75=0
D=9
x1=1,5
x2=1
1 |
6 |
Произведем проверку подставив в исходное выражение каждый из получившихся корней:
1) (3 · 1,5 ?4)2=0,25
0,52=0,25
2) (3 ·
7 |
6 |
-0,52=0,25
![thanks](images/forum/thanks.png)