На главную страницу
![На главную страницу](css/images/home.png)
Войти при помощи
![Войти на сайт через ВКонтакте](images/authorization/vk_text.png)
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое - Чётные и нечётные функции
Алгебра 10 класс
Алгебра 11 класс
![На главную страницу](css/images/home.png)
![На главную страницу](css/images/home_light.gif)
Чётные и нечётные функции
Поддержать сайт![спасибо](images/donut/handshake.png)
Что такое чётная функция
Обратимся к определению чётности функции через формулу.
![!](css/images/for_special_left.png)
Функция «у(x)» называется чётной, если
для любого «x» из области определения функции.
Другими словами, нужно в формулу функции вместо «x» подставить «−x». Затем сравнить полученный результат с формулой исходной функцией.
Если в итоге «y(−x)» будет равен исходной функции «y(x)», значит, эта функция чётная.
Давайте разбираться на практике.
Разбор примера
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
![Галка](css/images/tip_35px.png)
При обозначении функции используют разные варианты написания
«у = …» или
«у(x) = …». По сути, это одинаковые обозначения.
Подставим «−x» вместо «x» в исходную функцию «у = 2x4». Если в итоге мы получим исходную функцию, значит, она чётная.
При возведении в чётную степень отрицательного числа всегда получается положительное число.
Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».
у(x) = 2x4
у(−x) = 2x4 |
у(−x) = у(x)
Значит, функция у = 2x4 чётная |
После подстановки «−x» мы получили исходную функцию «у = 2x4». Условие чётности функции «у(−x) = у(x)» выполнено.
Ответ: функция «у = 2x4» чётная.
Что такое нечётная функция
![!](css/images/for_special_left.png)
Функция «у(x)» называется нечётной, если
для любого «x» из области определения функции.
- подставить «−x» в исходную функцию, чтобы получить «у(−x)»;
- вычислить «−у(x)»;
- сравнить «у(−x)» и «−у(x)». Если они равны, то функция нечётная.
Разбор примера
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
Подставим «−x» вместо «x» в формулу функции «у(x) = 3x 5».
При возведении в нечётную степень отрицательного числа получается отрицательное число.
Теперь получим «−у(x)». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции «у = 3x 5» на «−1».
−у(x) = −3x 5
Сравним полученные результаты «у(−x)» и «−у(x)».
у(−x) = −3x5
−у(x) = −3x5 |
у(−x) = −у(x) Значит, функция у(x) = 3x 5 является нечётной |
Ответ: функция «у(x) = 3x 5» нечётная.
![Галка](css/images/tip_35px.png)
Не бывает функций, которые одновременно являются чётными и нечётными.
Поэтому, если при анализе функции вы выяснили, что функция является чётной (или нечётной), нет смысла продолжать ее анализ на чётность/нечётность. Можно сразу записывать ответ.
Функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными
![Галка](css/images/tip_35px.png)
Не все функции обязательно являются чётными или нечётными. Есть функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными.
Разбор примера
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
Проверим, является ли функция
«у = x 3 − 2» чётной.
По определению чётной функции
должно выполняться условие
«у(−x) = у(x)».
Подставим «−x» вместо «x» в исходную функцию «у = x 3 − 2».
Возведение в нечётную степень отрицательного числа даст отрицательное число.
Сравним исходную функцию «y(x)» и полученную «y(−x)», чтобы проверить, является ли функция «у = x 3 − 2» чётной.
у(x) = x 3 − 2
у(−x) = −x 3 − 2 |
у(−x) ≠ у(−x) Функция у(x) = x 3 − 2 не является чётной |
Теперь проверим, является ли функция «у(x) = x 3 − 2» нечётной. По определению нечётной функции должно выполняться условие: «у(−x) = −у(x)».
Функцию «у(−x)» мы рассчитали выше. Осталось вычислить «−у(x)». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции «у = x 3 − 2» на «−1».
−у(x) = −(x 3 − 2)
Используем правило раскрытия скобок. Так как перед скобкой «(x 3 − 2)» стоит знак минуса, все слагаемые внутри поменяют знак на противоположный.
Сравним «−y(x)» и «−y(x)».
у(−x) = −x 3 − 2
−у(x) = −x 3 + 2 |
у(−x) ≠ у(−x) Функция «у(x) = x 3 − 2» не является нечётной |
Ответ: функция «у(x) = x 3 − 2» не является ни чётной, ни нечётной.
Другие примеры чётных и нечётных функций
Разбор примера
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
Проверим, является ли функция
«у = x 2 − x + 1» чётной,
то есть должно выполняться условие
«у(−x) = у(x)».
Подставим «−x» вместо «x» в формулу функции.
При возведении в чётную степень получается положительное число.
= x 2 − (−x) + 1 = …
Раскроем скобки «− (−x)» по правилу раскрытия скобок: минус на минус даёт плюс.
= x 2 − (−x) + 1 = x 2 + x + 1
Сравним полученную «у(−x)» с исходной функцией «у(x)».
у(x) = x 2 − x + 1
у(−x) = x 2 + x + 1 |
у(−x) ≠ у(−x) Функция у(x) = = x 2 − x + 1 не является чётной |
Проверим, является ли функция
«у = x 2 − x + 1»
нечётной функцией.
Для этого должно выполняться условие:
«у(−x) = −у(x)».
Выражение «у(−x)» мы уже посчитали выше. Теперь вычислим «у(−x)». Умножим левую и правую часть исходной функции на «(−1)».
(−1) · у(x) = (−1) · (x 2 − x + 1)
Используем правило раскрытия скобок. При умножении на «(−1)» все слагаемые внутри скобок поменяют свой знак на противоположный.
Сравним полученные «у(−x)» и «−у(x)».
у(−x) = x 2 + x + 1
−у(x) = = −x 2 + x − 1 |
у(−x) ≠ у(−x) Функция у(x) = x 2 − x + 1 не является нечётной |
Ответ: функция «у = x 2 − x + 1» не является ни чётной, ни нечётной.
Разбор примера
Исследуйте на чётность функцию:
По определению чётности функции «у(−x) = у(x)». Вычислим «у(−x)», подставив «(−x)» вместо «x».
= √−x − 1 · √−x + 1 = …
Вынесем «(−1)» из каждого корня. После этого каждое слагаемое внутри корней поменяет знак на противоположный.
= (−1) · (−1) √x + 1 · √x − 1 = …
Умножим «(−1)» на «(−1)», используя правило знака: минус на минус дает плюс.
От перемены мест множителей произведение не меняется. Поменяем местами
«√x − 1» и
«√x + 1».
Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».
у(x) =
= √x − 1 · √x + 1 у(−x) = = √x − 1 · √x + 1 |
у(−x) = у(x) Функция у = = √x − 1 · √x + 1 является чётной |
Ответ: функция «у = √x − 1 · √x + 1» является чётной.
Разбор примера
Показать, что функция не является чётной и не является нечётной:
x + 2 |
x − 3 |
По определению чётности функции «y(−x) = y(x)». Вычислим «y(−x)».
Подставим «−x» в исходную функцию«у =
x + 2 |
x − 3 |
−x + 2 |
−x − 3 |
Сравним «у(−x)» и «у(x)».
у(−x) =
у(x) =
|
у(−x) ≠ у(x)
Значит, функция y =
|
x + 2 |
x − 3 |
По определению нечётности функции «y(−x) = −y(x)». Функцию «y(−x)» мы вычислили ранее. Вычислим «−y(x)».
Для этого умножим левую и правую часть исходной функции на «−1».
x + 2 |
x − 3 |
−у(x) = −
x + 2 |
x − 3 |
Сравним «у(−x)» и «−у(x)».
у(−x) =
−у(x) = = −
|
у(−x) ≠ −у(x)
Значит, функция y =
|
x + 2 |
x − 3 |
Ваши комментарии
Оставить комментарий:
Ответ для Мария Козьмина
![thanks](images/forum/thanks.png)