Карандаш и циркуль Уолтер Вайт гарри и поттер и решение квадратных уравнений надпись на парте among us надпись на парте Ура физкультуре

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Список уроков
Скрыть меню

На главную страницу На главную страницу
Войти при помощи
Войти на сайт через ВКонтакте

Темы уроков


Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Что есть лучшего? — Сравнив прошедшее, свести его с настоящим.Козьма Прутков
На главную страницу На главную страницу на главную

Системы уравнений

лупа Скрепки
Поддержать сайтспасибо

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Запомните! !

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют «x» и «y»), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

x + 5y = 7
3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

x + 5y = 7
3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7» неизвестное «x».

Важно! Галка

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

  • перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
  • разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что содержит «x» в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

x = 7 − 5y
3x − 2y = 4

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)» во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*).

x = 7 − 5y
3(7 − 5y) − 2y = 4  (*)
 (*)   3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
                 − 17y = − 17     | :(−17)
y = 1

Мы нашли, что «y = 1». Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти «x». Запишем в ответ оба полученных значения.

x = 7 − 5y
y = 1
x = 7 − 5 · 1
y = 1
x = 2
y = 1
Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

x + 5y = 7
3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

Запомните! !

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7 (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+          =>     x + 5y + 3x2y = 11
3x − 2y = 4 4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

x + 5y = 7
3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент «−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

Важно! Галка

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)
3x − 2y = 4
x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)
3x − 2y = 4
−3x −15y = −21
3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21 (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+          =>     3x15y + 3x2y = −21 + 4
3x − 2y = 4 −17y = −17 |:(−17)
y = 1

Мы нашли «y = 1». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое значение и найдем «x».

x = 7 − 5y
y = 1
x = 7 − 5 · 1
y = 1
x = 2
y = 1
Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

x − 3y = 17
x − 2y = −13

Выразим из первого уравнения «x».

x = 17 + 3y
x − 2y = −13

Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.

x = 17 + 3y
(17 + 3y) − 2y = −13 (*)
(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и найдем «x».

x = 17 + 3y
y = −30
x = 17 + 3 · (−30)
y = −30
x = 17 −90
y = −30
x = −73
y = −30
Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)
4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

3x − 3y + 5x = 6x − 4
4x − 2x − 2y = 4 − 3y
8x − 3y = 6x − 4
2x −2y = 4 − 3y
8x − 3y − 6x = −4
2x −2y + 3y = 4
2x − 3y = −4
2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x». Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только «y».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».

2x − 3y = −4      |·(−1)
2x + y = 4
2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)
2x + y = 4
−2x + 3y = 4
2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.

−2x + 3y = 4 (−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+          =>     2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4 4y = 8         | :4
y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и найдем «x».

−2x + 3y = 4
y = 2
−2x + 3 · 2 = 4
y = 2
−2x + 6 = 4
y = 2
−2x = −2       | :(−2)
y = 2
x = 1
y = 2
Ответ: x = 1; y = 2

Ваши комментарии

Важно! Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Отправить
6 февраля 2024 в 7:35
Анастасия Валерьевна (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Анастасия Валерьевна
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
x+2y=7
2y²+xy=14
0 Спасибоthanks Ответить
13 марта 2024 в 23:30
Ответ для Анастасия Валерьевна
Умурзок Хидиров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
(^-^) Умурзок Хидиров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Ответ: x=3; y=2
0 Спасибоthanks Ответить
22 января 2024 в 13:48
Лебедева Татьяна (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Лебедева Татьяна
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
{x²+y²≤9,y-x≤2
0 Спасибоthanks Ответить
13 марта 2024 в 23:42
Ответ для Лебедева Татьяна
Умурзок Хидиров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
(^-^) Умурзок Хидиров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
(х1=-3; у1=-1), (х2=1; у2=3)
Ответ: х2=1, у2=3
0 Спасибоthanks Ответить
5 сентября 2023 в 21:45
Артемий Евграфов (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Артемий Евграфов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
y-x = 0
X + y = 6








0 Спасибоthanks Ответить
13 марта 2024 в 23:46
Ответ для Артемий Евграфов
Умурзок Хидиров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 3
(^-^) Умурзок Хидиров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Ответ: (х1=-3; у1=9), (х2=2; у2=4)
0 Спасибоthanks Ответить
8 мая 2020 в 16:20
Алина Козлова (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Алина Козлова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
у-2х=-3
х+у=3
0 Спасибоthanks Ответить
9 мая 2020 в 21:50
Ответ для Алина Козлова
Evgeny Bayron (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Evgeny Bayron
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
y=3-x
3-x-2x=-3
x=2
y-2*2=-3
y=1
0 Спасибоthanks Ответить
15 мая 2019 в 13:21
Марина Чернявская (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Марина Чернявская
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Решительно систему уравнений.
4x+3y =22.
-x+7y =10.
a)графическим способом.
б)способом подстановки
в)способом сложения
0 Спасибоthanks Ответить
15 мая 2019 в 22:31
Ответ для Марина Чернявская
Лёха Чешуйка (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
(^-^) Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
в): Домножаем первое на 1, второе на 4:
4x+3y=22
-4x+28y=40
Складываем:
4x+(-4x)+3y+28y=22+40
31y=62
y=62/31
y=2
Подставляем y в первое:
4x+3 · 2=22
4x=22-6
4x=16
x=4
0 Спасибоthanks Ответить
15 мая 2019 в 22:41
Ответ для Марина Чернявская
Лёха Чешуйка (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 2
(^-^) Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
б): Выражаем из второго x:
-x=10-7y
x=7y-10
Подставляем x в первое:
4(7y-10)+3y=22
28y-40+3y=22
31y=22+40
31y=62
y=2
Подставляем y в первое:
4x+3 · 2=22
4x=22-6
4x=16
x=4
0 Спасибоthanks Ответить
20 октября 2015 в 13:24
Елена Тутуликова (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
(^-^) Елена Тутуликова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
 Помогите, пожалуйста, решить систему уравнений.{y + sinx = 5; {4y + 2 sinx = 19
Спасибо!
0 Спасибоthanks Ответить
23 октября 2015 в 21:25
Ответ для Елена Тутуликова
Елизавета Яременко (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 5
(^-^) Елизавета Яременко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 5
Я думаю{y + sinx  =5; {4y  + 2  sinx =19
0 Спасибоthanks Ответить
9 июня 2016 в 14:19
Ответ для Елена Тутуликова
Евгений Фёдоров (^-^) Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 60
(^-^) Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
sinx = 1/2
y = 9/2
0 Спасибоthanks Ответить

Ура физкультуре